MATHEMATIQUES

Mathématiques : pourcentages

Il y a 4 mois
par obooklage dans

Outils pour utiliser les pourcentages représentants une évolution d’une valeur initiale Vi vers une valeur finale Vf

1- La variation absolue

(1)   \begin{equation*} \boxed{ \Delta = Vf-Vi } \end{equation*}

2 – Le coefficient multiplicateur Cm

(2)   \begin{equation*} \boxed{ Cm = \frac {Vf}{Vi} } \end{equation*}

3 – Le taux d’évolution t

Si l’évolution est une augmentation :

    \[\text{Vi} ~ \xrightarrow{ \displaystyle{+t} } \text{Vf}\]

(3)   \begin{equation*} \boxed{ Vf = Vi( 1 + \frac{t}{100}) } \end{equation*}

Dans ce cas le coefficient multiplicateur est

(4)   \begin{equation*} Cm = \frac {Vf}{Vi} = \frac {Vi( 1 + \frac{t}{100})}{Vi} \end{equation*}

(5)   \begin{equation*} \boxed{ Cm = 1 + \frac{t}{100} } \end{equation*}

Si l’évolution est une diminution :

    \[\text{Vi} ~ \xrightarrow{ \displaystyle{-t} } \text{Vf}\]

(6)   \begin{equation*} \boxed{ Vf = Vi( 1 - \frac{t}{100}) } \end{equation*}

Dans ce cas le coefficient multiplicateur est

(7)   \begin{equation*} Cm = \frac {Vf}{Vi} = \frac {Vi( 1 - \frac{t}{100})}{Vi} \end{equation*}

(8)   \begin{equation*} \boxed{ Cm = 1 - \frac{t}{100} } \end{equation*}

4 – Le coefficient multiplicateur global d’évolutions successives Cg

C’est le produit des coefficients multiplicateurs successifs

(9)   \begin{equation*} \boxed{ Cg = Cm1 * Cm2 \dots * Cmn } \end{equation*}

5 – Le taux global d’évolutions successives T

La relation est déduite de la précédente en replaçant par les valeurs de Cm:

(10)   \begin{equation*} \boxed{ 1 + T = (1 \pm \frac{t1}{100}) * (1 \pm \frac{t2}{100}) \dots * (1 \pm \frac{tn}{100}) } \end{equation*}

6 – taux réciproque t^\prime

    \[\text{Vi} ~ \begin{matrix}\xrightarrow{\displaystyle{t}} \\ \xleftarrow[\displaystyle{t^\prime}]{}\end{matrix}~\text{Vf}\]

(11)   \begin{equation*} \boxed{ 1 + t^\prime = \frac {1}{1+t} } \end{equation*}

Géomètrie dans l’espace : L’erlenmeyer

Il y a 4 mois
par obooklage dans

On a représenté un récipient de chimie : l’erlenmeyer.

ERLENMEYER en 3D
Le centre O de sa base et un point A du périmètre de sa base ; le centre O’ de la base de son col et un point A’ du périmètre de la base de son col. Les points O,O’,A,A’ sont coplanaires et dans un plan frontal.

1. Calculer la surface b du disque de centre O et rayon [OA], et la surface b’ du disque de centre O’ et rayon [O'A'].

2. Ajouter à la figure le sommet S d’un cône de hauteur [SO] et de base le disque de centre O et de rayon [OA].

3. Déterminer le volume de ce cône et en déduire le volume de l’Erlenmeyer en fonction de b, b’ et h = OO’. (jusqu’à la base du col).

4. Déterminer le volume total de l’Erlenmeyer, col compris.

5. On suppose qu’un liquide atteint une hauteur de x cm dans l’Erlenmeyer. Exprimer le volume V (x) de liquide en fonction de x.

6. Lorsque la moitié de la hauteur [OO'] est atteinte par le liquide, quelle proportion du volume total est occupée ?

7. Programmer la fonction à la calculatrice et déterminer au dixième de millimètre près la hauteur de la marque indiquant un décilitre.

Pistes pour la résolution :

ERLENMEYER1- Calcul des aires b et b’ :

  • L’aire b du disque de centre O et de rayon [AO] est donnée par

    (1)   \begin{equation*} \boxed{ b = \pi [AO]^2 } \end{equation*}

  • L’aire b’ du disque de centre O’ et de rayon [A'O'] est donnée par

    (2)   \begin{equation*} \boxed{ b^{\prime} = \pi [A^{\prime}O^{\prime}]^2 } \end{equation*}

2- On place le sommet S, intersection des droites (OO’) et (AA’)

3- Calcul des volumes :

a- Calcul du volume du grand cône (OAS) :

(3)   \begin{equation*} V = \frac{1}{3} * b * [SO] \end{equation*}

b- Calcul du volume du petit cône (O’A'S) :

(4)   \begin{equation*} V^{\prime} = \frac{1}{3} * b^{\prime} * [SO^{\prime}] \end{equation*}

c- Pour calculer le volume jusqu’au début du col, ici hachuré en bleu, on soustrait le volume du petit cône au volume du grand cône :

(5)   \begin{equation*} V - V^{\prime} = \frac{1}{3} * b * [SO] - \frac{1}{3} * b^{\prime} * [SO^{\prime}] = \frac{1}{3} * ( b[SO] -b^{\prime} [SO^{\prime}] ) \end{equation*}

Le petit cône étant une réduction du grand, d’après le théorème de Thalès et en utilisant la relation du facteur de proportionnalité ka des aires, on peut écrire :

(6)   \begin{equation*} ka = \frac {b^{\prime}}{b} = \frac {[A^{\prime}O^{\prime}]^2}{[AO]^2} = (\frac {[SO^{\prime}]}{[SO]})^2 \end{equation*}

Donc

(7)   \begin{equation*} \frac { [SO] }{ \sqrt{b} } = \frac { [SO^{\prime}] }{ \sqrt{b^{\prime}} } = \frac { [SO]-[SO^{\prime}] }{ \sqrt{b}-\sqrt{b^{\prime}} } = \frac { h }{ \sqrt{b}-\sqrt{b^{\prime}} } \end{equation*}

On en déduit

(8)   \begin{equation*} [SO] = \frac { h }{ \sqrt{b}-\sqrt{b^{\prime}} } *\sqrt{b} \end{equation*}

(9)   \begin{equation*} [SO'] = \frac { h }{ \sqrt{b}-\sqrt{b^{\prime}} } *\sqrt{b^{\prime}} \end{equation*}

On remplace [SO] et [SO'] dans le calcul du volume

(10)   \begin{equation*} V - V^{\prime} = \frac{1}{3} * h * ( b*\frac { \sqrt{b} }{ \sqrt{b}-\sqrt{b^{\prime}} } -b^{\prime}*\frac { \sqrt{b^{\prime}} }{ \sqrt{b}-\sqrt{b^{\prime}} } ) \end{equation*}

(11)   \begin{equation*} = \frac{h}{3}( \frac { b\sqrt{b} - b^{\prime}\sqrt{b^{\prime}} }{ \sqrt{b}-\sqrt{b^{\prime}} } ) \end{equation*}

On multiplie par la quantité conjuguée du dénominateur pour utiliser l’identité remarquable :

(12)   \begin{equation*} V - V^{\prime} = \frac{h}{3}( \frac { b\sqrt{b} - b^{\prime}\sqrt{b^{\prime}} }{ \sqrt{b}-\sqrt{b^{\prime}} } ) * \frac{ \sqrt{b}+\sqrt{b^{\prime}} }{ \sqrt{b}+\sqrt{b^{\prime}} } \end{equation*}

(13)   \begin{equation*} = \frac{h}{3}( \frac { b^2-b^{\prime}\sqrt{bb^{\prime}} + b\sqrt{bb^{\prime}} - b^{\prime}^2}{ b -b^{\prime}} ) \end{equation*}

(14)   \begin{equation*} = \frac{h}{3}( \frac { b^2 + \sqrt{bb^{\prime}}( b-b^{\prime}) - b^{\prime}^2 }{ b -b^{\prime} } ) \end{equation*}

On factorise b-b^{\prime} et on simplifie puisque {b} \neq {b^{\prime}} :

(15)   \begin{equation*} V - V^{\prime} = \frac{h}{3}( \frac { (b^2 - b^{\prime}^2) + \sqrt{bb^{\prime}}( b-b^{\prime}) }{ b -b^{\prime}} ) \end{equation*}

(16)   \begin{equation*} = \frac{h}{3}( \frac { (b-b^{\prime})(b+b^{\prime})+(b - b^{\prime})\sqrt{bb^{\prime}} ) }{ b -b^{\prime}} ) \end{equation*}

Conclusion :

(17)   \begin{equation*} \boxed{ V - V^{\prime} = \frac{h}{3}( b +\sqrt{bb^{\prime}}+b^{\prime} ) } \end{equation*}

4- Calcul de volume total :

On ajoutera le volume du cylindre de hauteur h’ = [O'O''] représentant le col du récipient :

(18)   \begin{equation*} \boxed{ V - V^{\prime} + Col = \frac{h}{3}( b +\sqrt{bb^{\prime}}+b^{\prime} ) + b^{\prime}*h^{\prime} } \end{equation*}

Identité remarquable : différence de cubes

Il y a 4 mois
par obooklage dans

Vérifier l’identité remarquable suivante : a^3 - b^3 = \left( a-b \right) \left(a^2 + ab + b^2 \right)

Corrigé : on développe ;

\left( a-b \right) \left(a^2 + ab + b^2 \right) = a^3 + a^2b +ab^2 -a^2b - ab^2 -b^3 = a^3 - b^3

Conclusion :
\left( a-b \right) \left(a^2 + ab + b^2 \right) = a^3 - b^3

Calcul littéral : fractions et proportionnalité

Il y a 4 mois
par obooklage dans

1/ Démontrer que si \frac {a}{b} = \frac {c}{d} alors \frac {a}{b} = \frac {c}{d} = \frac {a+c} {b+d} = \frac {a-c} {b-d} avec a \neq b \neq c \neq d

Corrigé :

Nous nommerons k le rapport de proportionnalité :

(1)   \begin{equation*} k = \frac {a}{b} = \frac {c}{d} \end{equation*}

On en déduit la valeur de a et c :

(2)   \begin{equation*} a = kb \end{equation*}

(3)   \begin{equation*} c = kd \end{equation*}

On additionne a et c :

(4)   \begin{equation*} a + c = kb + kd = k \left( b + d \right) \end{equation*}

et par produit en croix :

(5)   \begin{equation*} k = \frac {a+c} {b+d} \end{equation*}

On soustrait a et c :

(6)   \begin{equation*} a - c = kb - kd = k \left( b - d \right) \end{equation*}

et par produit en croix :

(7)   \begin{equation*} k = \frac {a-c} {b-d} \end{equation*}

Conclusion :

(8)   \begin{equation*} \boxed{ k = \frac {a}{b} = \frac {c}{d} = \frac {a+c} {b+d} = \frac {a-c} {b-d} } \end{equation*}

TEST

Il y a 8 mois
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Description

Mathématiques au collège – généralités et dérivées

Il y a 1 an
par obooklage dans

1 – F(x) : ABUS DE LANGAGE

Lorsque l’on parle de ‘f de x’ il s’agit d’une valeur, d’un nombre. En effet, on devrait dire ‘la fonction f définie par f de x’

 

2 – Introduction aux dérivées de fonction

Si vous êtes perdu sur la signification ou l’utilisation des dérivées en mathématiques, cette note vous permettra, je l’espère, de reprendre un bon départ.

Oubliez tout et considérez :

Que pour toute fonction, on peut calculer sa fonction dérivée en utilisant les dérivées simples et les règles sur les opérations de dérivée, le tout à connaitre par cœur !

A la fin de la lecture de cette note, vous serez en mesure de calculer la dérivée de f(x) = (2x²-3)/(4x-1) , soit f(x)’ = ( 8x⁴-4x+19 ) / (4x-1)² !

On notera la fonction dérivée avec un prime ‘ . Exemple f(x)=>f’(x)

 

3 – Dérivés simples

Elles seront par la suite nos outils pour des calculs plus complexes et donc elle sont à connaitre par cœur.

a – de fonction constante f(x)=k

La dérivée d’une fonction constante est nulle . Exemple pour f : x->3 => f(x)’=0

b – de fonction simple f(x)=x

La dérivée de la fonction simple f : x->x est égale à 1 .  f : x->x => f(x)’=1

c – de fonction linéaire f(x)=ax

La dérivée de la fonction linéaire f : x->ax est égale à a => f(x)’=a

Exemple pour g : x->3x => g’(x)=3

d – de fonction affine H(x)=ax+b

! la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées

La dérivée de la fonction linéaire h : x->ax+b est égale à la somme des dérivées de f(x)=ax et g(x)=k

h’(x) = f’(x)+g’(x) = a + 0 = a

e – de fonction carrée ou, de manière générale, la fonction exposant f(x)=x^n

La dérivée de la fonction f : x->x^n est égale à n*x^(n-1) . Exemple pour f : x->x² => f(x)’=2x

f – de fonction inverse f(x)=1/x

La dérivée de la fonction f : x->1/x est égale à -1/x²

g – de fonction racine carrée f(x)=√x

La dérivée de la fonction f : x->√x est égale à 1/(2*√x)

 

4 – Dérivées d’opérations sur les fonctions

Nous sommes désormais équipés des dérivées des fonctions simple. Alors, pour dériver des fonctions plus complexes, on s’arrangera pour la décomposer en somme, produit ou quotient de sous-fonction simples.

a Introduction : dérivée du produit ax²

Le premier exemple de décomposition de fonction en sous-fonctions simples sera pour le calcul de la dérivée de ax²

Pour le calcul de sa dérivée, on considère que ax² peut s’écrire sous la forme d’un produit entre une constante a et une fonction f(x)=x²

c’est à dire ax² peut s’écrire a*f(x)

Donc la dérivée ( ax² )’ peut s’écrire ( a * f(x) )’

Or

! la dérivée entre une constante et une fonction est le produit de la constante et la dérivée de la fonction

( a * f(x) )’ = a * f(x)’

Exemple pour f : x->4x² => f(x)’ = 4 * (x²)’ = 4 * ( 2*x^(2-1) ) = 4 * ( 2*x ) = 8x

Donc pour la suite, on décomposera les fonctions sous forme de somme ou de produit de sous-fonctions

 

b Dérivée de la somme de fonctions

soit la fonction u : x -> u(x) et la fonction v : x -> v(x)

On étudie la dérivée de la somme des deux fonctions f : x-> u(x)+v(x)

! la dérivée d’une somme est égale à la somme des dérivées

Donc

f(x)’ = u(x)’+v(x)’

Exemple pour f :x -> 2x+4x² on décomposera

f(x)=(2x)+(4x²) ; donc

f(x)’=(2x)’+(4x²)’

f(x)’=2+(4x²)’

f(x)’=2+4(x²)’

f(x)’=2+8x

f(x)’=8x+2

 

c Dérivée du produit de fonctions

soit la fonction u : x -> u(x) et la fonction v : x -> v(x)

On étudie la dérivée de la somme des deux fonctions f : x-> u(x)*v(x)

! la dérivée d’un produit de fonction N’EST PAS égale au produit des dérivées

Si f(x) = u(x)*v(x) ; alors

f(x)’ = u(x)’ * (x) + u(x) * v(x)’

Exemple :

f(x) = (2x+4)(7x-8)

Donc

f(x)’ = (2x+4)’(7x-8)+(2x+4)(7x-8)’

Calcul de (2x+4)’ = 2

Calcul de (7x-8)’ = 7

donc f(x)’ = 2(7x-8)+7(2x+4) = 28x+12

 

d Dérivée du quotient de fonctions

soit la fonction u : x -> u(x) et la fonction v : x -> v(x)

On étudie la dérivée du quotient des deux fonctions f : x-> u(x)/v(x)

! la dérivée d’un quotient de fonction N’EST PAS égale au quotient des dérivées

Si f(x) = u(x)/v(x) ; alors

f(x)’ = [ u(x)' * v(x) - u(x )* v(x)' ] / v²(x)

Exemple :

f(x) = (2x²-3)/(4x-1)

Donc

f(x)’ = [ (2x²-3)'(4x-1)- (2x²-3)(4x-1)' ] / (4x-1)²

Calcul de (2x²-3)’ = 4x

Calcul de (4x-1)’ = 4

donc

f(x)’ = [ 4x*(4x-1)- 4*(2x²-3) ] / (4x-1)²

f(x)’ = ( 8x⁴-4x+19 ) / (4x-1)²

 

e Conclusion

 

J’ai mis le minimum ici pour repartir d’un bon pied pour le calculs des dérivées de fonction, certains exemples proviennent des excellentes vidéos de Liolive.

 

 

 

 

Géomètrie plane – 01

Il y a 1 an
par obooklage dans
Utilisation des hauteurs et de l’orthocentre d’un triangle

 

Rappel :
Soit ABC un triangle.
La hauteur issue de A du triangle ABC est la droite passant par le sommet A et perpendiculaire à la droite (BC).
Le point de concours des trois hauteurs d’un triangle est appelé orthocentre du triangle.

 

On donne :

AM perpendiculaire à OB

BM perpendiculaire à AO

 

 

a/ Si on trace le rectangle ABO, on note que par définition, les droites AM et BM sont 2 de ses hauteurs et que le point M est son orthocentre.

Il manque la troisième hauteur.

Sachant que les hauteurs se croisent toutes en l’orthocentre, ici M, on peut tracer OM qui est la troisième hauteur du triangle ABO par le sommet O

Sachant que les hauteurs sont toujours perpendiculaires au coté opposé au sommet, la troisième hauteur OM est donc perpendiculaire à la droite AB

 

b/ Si on trace le triangle AMO :

1/ on nous donne que BM est perpendiculaire à AO, c’est donc une hauteur du triangle AMO passant par le sommet M

2/ on nous donne que OB est perpendiculaire au coté opposé AM du triangle AMO, de plus, il passe par le sommet O du triangle AM. Donc OB est une hauteur du triangle AMO

L’intersection des hauteurs étant l’orthocentre du triangle, donc B est l’orthocentre du triangle AMO

 

 Notes :

On a bien dessiné les trois hauteurs du triangle AMO mais celle qui passe par le sommet A se confond avec la droite AM

On voit ici que l’orthocentre d’un triangle n’est pas toujours contenu à l’intérieur du triangle.

 

 

 

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